作者：福建 馬長冰
4，九宮圖與幻方
A 縱橫圖（幻方）
公元前165年考古發掘中，出土了一具“太乙九宮占盤”，上麵繪有九宮等內容，公元前一世紀，洛書同我國漢代的《大戴禮》yishuzhongdejiugongtuxianghe。suoweijiugong，jiushijiangyigezhengfangxingyongliangzuyubianpingxingdefengexian，meizuliangtiao，fengechengdejiugexiaozhengfangge。meigexiaofanggefenbietianrucong1到9這九個自然數中的其中一個，不同的方格填入的數不同，使得三橫行中每一橫行三個數的和（叫行和），三縱列中每一縱列三個數的和（叫列和），兩條對角線中每一條對角在線三個數的和（叫對角和）都相等，等於 15。簡而言之，縱橫圖（現稱幻方），就是橫、豎、斜（對角）各數之和都相等的正方格。
橫或豎的方格數目稱作幻方的階，橫、豎、斜（對角）各數之和稱作幻和，例如上圖是3階幻方，幻和是15。
每一個幻方可以旋轉、翻轉，得到8個不同的幻方，這8個算是同族幻方。三階幻方隻有1族8個。根據嚴德人先生研究，四階幻方至少有880族7040個。
這樣得到的圖就叫九宮圖，南宋數學家楊輝稱之為“縱橫圖”。這是洛書的現代表示法，傳播到西方以後被稱作幻方。
中國不僅擁用幻方的發明權，而且是對幻方進行深入研究的國家。南宋數學家楊輝（1127～1279）是世界係統研究幻方第一人，他編製幻方的方法成為經典。他一共編製了4階到10階的多種幻方，下圖是其中一部分。
楊輝研究構建幻方的成就領先世界數百年。這麼大量的計算，他使用的計算工具已經是算盤了。
B 幻方走向世界
我國的縱橫圖通過東南亞國家傳到印度、阿拉伯，再傳到西方。由於縱橫圖具有十分奇幻的特性，西方把它叫作Magic Square，翻譯成中文就是“幻方”或“魔方”。現在我們一般采用“幻方”這一術語，當然數碼也采用阿拉伯數字。
陝西曆史博物館二樓展廳陳列著一塊刻著印度——阿拉伯數碼的鐵板。它是1273年修建安西王府時，壓在房基下，作為避邪、防災的物品。這塊鐵板是“六階幻方”，一定程度上反映了阿拉伯數字傳入中國後的應用。
1307年，元武宗海山在張北縣始建元中都，與上都(內蒙古正藍旗)、大都(北京)並稱元朝三大都城。現存的元中都遺址位於今河北張家口張北縣城西北15公裏處，遺址中心大殿前殿中軸線三分之一處的地磚下，發現一塊青石板，上麵縱橫各6格，共36格。每格內有一組八思巴文數字，出土的也是“六階幻方”，其蘊含精妙的阿拉伯數字原理，避邪、防災，在古代被視為奇妙的神秘之物。
曆史上最早的四階幻方是在印度發現的，印度人認為那是天神的手筆，被作為護身符。
西方有籍可查最早出現的幻方是德國著名畫家丟勒（Albrecht Durer）。丟勒於1514年所作的著名版畫《憂鬱》中有四階幻方。這個幻方常常被複製到金屬佩戴物上，作為人們用以驅邪除魔，消災避禍的護身符。
從cong洛luo書shu發fa端duan的de幻huan方fang在zai數shu千qian年nian後hou的de今jin天tian更geng加jia生sheng機ji盎ang然ran，被bei稱cheng為wei具ju有you永yong恒heng魅mei力li的de數shu學xue問wen題ti。洛luo書shu被bei世shi界jie公gong認ren為wei組zu合he數shu學xue的de鼻bi祖zu，它ta是shi中zhong華hua民min族zu對dui人ren類lei的de偉wei大da貢gong獻xian之zhi一yi。
著名數學家費爾瑪、ouladoujinxingguohuanfangyanjiu，rujin，huanfangrengranshizuheshuxuedeyanjiuketizhiyi，jingguoyidaidaishuxuejiayushuxueaihaozhedegongtongnuli，huanfangyutadebiantisuoyunhandegezhongshenqidekexuexingzhizhengzhubudedaojieshi。muqian，tayizaizuhefenxi、實驗設計、圖論、數論、群、對策論、紡織、工藝美術、程序設計、人工智能等領域得到廣泛應用。
1977年，4階幻方還作為人類的特殊語言被美國旅行者1號、2號飛船攜入太空，向廣袤的宇宙中可能存在的外星人傳達人類的文明信息與美好祝願！
5，魔方與數獨
A 九階魔方
許多古典數學遊戲已經有很多研究了。這裏隻介紹新近熱門的數字魔方與數獨。尤其是數獨已經從九宮圖神話發展成為民間智力遊戲。
用九個同樣的九宮格清空，拚接成9×9的正方形方格，共有81方格。每一九宮格在這裏就是小九宮，各個小九宮之間用粗線分開，根據位置依次編（序）號，如圖20。
取1～9的9個數字為1組共9組數字，填滿81個方格，使得滿足3個條件：
⑴每一行都是1～9的不同數字，沒有重複數字；
⑴每一行都是1～9的不同數字，沒有重複數字；
⑵每一列都是1～9的不同數字，沒有重複數字；
⑶每一個小九宮都是1~9的不同數字，沒有重複數字。
滿足這3個條件，就是九階數字魔方。這是構成九階數字魔方的充分必要條件。如下圖也是數字魔方。(這裏保留了三階幻方)
因此，81個方格中任何一個方格改動數字，必然引起全盤“洗牌”，重新排列，得到新的數字魔方。真可謂“牽一發而動全身”。那麼，究竟存在多少不同的九階數字魔方呢？這似乎是一個排列組合或者乘方的計算問題，實際情況是相當複雜的問題。
嚴德人先生對此作為學術課題進行了研究，並且設計了專用軟件，終於得到不同的九階數字魔方（族）的數目，是個“天文數字”：
6,670,903,752,021,072,936,960≈6.67×1021。
上麵僅僅說的是九階數字魔方，還有3階、4階等等多樣數字魔方，這在嚴德人先生專著《奇妙的數字魔方》中有比較詳細介紹。
B 九階標準數獨
如果九宮數字魔方當中，抹去若幹個數字成了空格。隻要達到一定要求就可以構造成為九階標準數獨題目（圖21）。並非九階魔方隨便抹去若幹個數字就成為數獨，其要求是從1到9的9個數字中選擇一個數字填到圖中的空格裏，使得從1到9 的9個數字在它的每一行、每一列和每一個小九宮（指圖18中，用粗線框住的3×3的區域）裏都僅僅出現一次，也不能遺漏（成為魔方）。而且每個空格填數都是獨一無二的，因此才能成為數獨題目，這也是數獨名稱的由來。也就是說：每一個數獨題目的答案都是獨一無二的。
數獨遊戲，具有很強的娛樂性、趣味性和競爭性，參加遊戲者須對所示的數獨題要能夠比較迅速地作出反應，觀察力、想象力和思維質量在遊戲中得到訓練。由於規則簡單，隻需要9個九宮格，以及1到9個(ge)不(bu)重(zhong)複(fu)的(de)阿(e)拉(la)伯(bo)數(shu)字(zi)，而(er)且(qie)變(bian)化(hua)無(wu)窮(qiong)，人(ren)人(ren)都(dou)可(ke)以(yi)玩(wan)。它(ta)超(chao)越(yue)了(le)文(wen)字(zi)的(de)障(zhang)礙(ai)，避(bi)開(kai)了(le)數(shu)字(zi)和(he)計(ji)算(suan)之(zhi)間(jian)天(tian)然(ran)的(de)聯(lian)係(xi)，使(shi)遊(you)戲(xi)變(bian)得(de)很(hen)輕(qing)鬆(song)。
通過對數獨遊戲（也稱為“數字九宮格”）的訓練、探索和研究，訓練觀察能力、想象力、創新能力和訓練學生思維的廣闊性、敏捷性、靈活性、批判性，達到健腦益智的目的；同時，培養學會探索問題規律性的一些方法。古老的洛書，九宮圖，延續的科技高度發達的21世紀，創造出數獨遊戲而且風靡全球，怎能不為我們祖先的智慧點讚呢？
C 各類數獨風靡世界
數獨是一種填數字遊戲，英文名叫Sudoku，起源於瑞士，上世紀70年代由美國一家數學邏輯遊戲雜誌首先發表，名為 Number Place，後在日本流行，1984年將Sudoku命名為數獨，即“獨立的數字”的省略，解釋為每個方格都填上一個個位數。2004年，曾居住中國香港的高樂德(Wayne Gould)把這款遊戲帶到英國，成為英國流行的數學智力拚圖遊戲。數獨遊戲現已風靡全世界，該遊戲益智健腦、老少鹹宜，自進入我國以來，受到了人們的廣泛關注和熱愛。現在數獨已經進行了國際競賽，我國開展數獨活動比較遲，但是發展、進步引人注目。
英國《每日郵報》2012年6月30日的一篇報導說，芬蘭數學家因卡拉，花費3個月時間設計出了世界上迄今難度最大的數獨遊戲，而且它隻有一個答案。因卡拉說隻有思考能力最快、頭腦最聰明的人才能破解這個遊戲。重慶一位教授耗時10天破解，實屬不易。
最近愛爾蘭都柏林大學的三位科學家庭計算機證明了：九階標準數獨至少必須留有17個數字才能有唯一解。
九階標準數獨遊戲，隻是常用普及的一種。為了提高趣味性和競技性，人們還創造出豐富多彩的數獨題目，難度也就可想而知。
第8屆國際數獨錦標賽上,中國隊首獲團體冠軍，實現曆史性突破，標誌著中國已躋身數獨強國之列。
數獨帶給人之外的東西應該是更多的。
嚴德人先生編製了《競技數獨》，由中國言實出版社於2007年12月出版。
2011年嚴德人在福建教育音像出版社講解數獨解題技巧，以通俗易懂的方式詳細講解了數獨解題的初、中級技巧。出版《數獨遊戲》光盤，附贈的DVD-ROM軟件中，含有146180道的數獨題目，分成6個難度級別，從簡單易學的入門題目到複雜、困難的題目應有盡有。通過學習和掌握這些解題技巧，你對時下各種數獨題都可以得到解決。該軟件還可以按照用戶的要求生成題目。
